BIENVENIDOS

¡¡BIENVENIDOS!! Bienvenido, este blog te ayudará a comprender mejor aquellos contenidos de la unidad de Razones y Proporciones que se te hagan más difíciles, y a repasar y ampliar aquellos que ya entiendas.También aquí puedes dar tu opinión sobre las clases y la materia que vemos en ellas, así como cualquier comentario que tengas sobre los contenidos.

RAZONES Y PROPORCIONES

1. 
   

Razones y proporciones

Proporción
Se define como la igualdad entre dos razones geométricas o por cociente. Una proporción geométrica se escribe de los dos modos siguientes:


Proporción aritmética o equidiferencia, se define como la igualdad entre dos razones aritméticas o diferencias.

En una proporción aritmética se llaman extremos al primero y cuartos términos, y medios al segundo y tercero términos. También reciben el nombre de antecedentes al primero y tercer términos, y consecuentes al segundo y cuarto términos.

En la equidiferencia 20-5=21-6, 20 y 6 son los extremos, 5 y 21 son los medios, 20 y 21 son los antecedentes, 5 y 6 son los consecuentes.


Proporción aritmética discreta o no continua, es aquélla que tiene sus cuatro términos diferentes o sus medios no son iguales.

Proporción aritmética continua, es aquélla que tiene sus términos medios iguales.

Propiedad fundamental de la proporción aritmética, en toda proporción aritmética la suma de los extremos es igual a la suma de los medios

Proporción geométrica o equicociente, se define como la igualdad entre dos razones geométricas o cocientes.

En una proporción geométrica se llaman extremos al primero y cuarto términos, y medios al segundo y tercer términos.

También reciben el nombre de antecedentes al primero y tercer términos, y consecuentes al segundo y cuarto términos.

Proporción geométrica discreta o no continua, es aquélla que tiene sus cuatro términos diferentes o sus medios no son iguales.

Proporción geométrica continua, es aquélla que tiene sus términos medios iguales.

Propiedad fundamental de la proporción geométrica, en toda proporción geométrica la suma de los extremos es igual a la suma de los medios


Ejemplo
Hallar el término desconocido en

Solución: Cómo el término desconocido es en un extremo y un extremo es igual al producto de los medios dividido por el extremo conocido, tendremos:
.
Sustituyendo el valor a la x en la proporción dada, queda:

Razones y proporciones

Razón
Razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.
Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede un a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente.

Razón aritmética o por diferencia de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades.
Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: Separándolas dos cantidades con el signo ― o con un punto (.). Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6―4 ó 6.4 y se lee seis es a cuatro.
Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 6―4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.

Razón geométrica o por cociente de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades.
Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: En forma de quebrado, separados numerador y denominador por una raya horizontal o separadas las cantidades por el signo de división (¸). Así, la razón geométrica de 8 a 4 se escribe u 8¸4 y se lee ocho es a cuatro.
Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 8¸4, el antecedente es 8 y el consecuente 4.

Propiedades de las razones
a) El valor de una razón no se altera cuando se suman o restan, se multiplican o dividen respectivamente sus términos, por un mismo número.
b) En toda razón, si al antecedente se le suma o se le resta, se le multiplica o se le divide por una cantidad, la razón aumenta o disminuye, queda multiplicada o dividida respectivamente por esa cantidad.
c) En toda razón, si al consecuente se le suma o se le resta, se le multiplica o se le divide por una cantidad, la razón aumenta o disminuye, queda multiplicada o dividida respectivamente por esa cantidad.

Ejemplo
Hallar la relación entre las edades de dos niños de 10 y 14 años
Solución:


Ejemplo
Hallar la razón geométrica entre 60 y 12
Solución: , 60 es 5 veces el valor de 12

Ejemplo
Hallar la razón geométrica entre 12 y 60
Solución: , 12 es parte de 60

Ejemplo
El mayor de dos números es 63 y su razón es 7 a 5 Hallar el número menor
Solución: . El número menor es 45

Ejemplo
Dos números son entre sí como 3 es 19. Sí el menor es 12, ¿Cuál es el mayor?
Solución: . . El número mayor es 76

¿QUÉ ES UNA RAZÓN?

PROBLEMA 8 Sabiendo que la razón de los sueldos de 2 anfitrionas es 7/3 y su diferencia es 244. Calcular el sueldo de cada anfitriona.
Rpta.Se llama razón al resultado de comparar dos cantidades.Dos cantidades pueden compararse de dos maneras:
1. Por diferencia, hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas.2. Por cociente, hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas.
TIPOS DE RAZONES
Hay dos clases de razones:
1. Razón aritmética o por diferencia.2. Razón geométrica o por cociente.
RAZONES ARITMÉTICAS
La razón aritmética de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades.Las razones aritméticas se pueden escribir de dos maneras:1. Separando las dos cantidades con el signo menos (-).2. Separando ambas cantidades con un punto (.).
Ejemplo:La razón aritmética de 6 a 4 se puede escribir:
6 - 4 o bien 6 . 4
Los términos de una razón aritmética reciben el nombre de Antecedente el primer término y de Consecuente el segundo término.Por ejemplo cuando decimos 6 - 4, el antecedente es 6 y el consecuente es 4.
RAZONES GEOMÉTRICAS
La razón geométrica es la comparación de dos cantidades por su cociente.Las razones geométricas se pueden escribir de dos maneras:1. En forma de fracción.2. Separando ambas cantidades con 2 puntos.
Ejemplo:La razón geométrica de 7 a 3 se puede escribir:§
7 / 3 o bien 7 : 3
Los términos de una razón geométrica también reciben el nombre de Antecedente el primer término y de Consecuente el segundo término.Por ejemplo cuando decimos 7/3, el antecedente es 7 y el consecuente es 3.
¿QUÉ ES UNA PROPORCIÓN?
Es el resultado de igualar dos razones.Dados cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden, constituyen una proporción si la razón de los dos primeros es igual a la razón de los dos segundos.§
TIPOS DE PROPORCIONES
Hay dos clases de proporciones:
1. Proporción aritmética.2. Proporción geométrica.
PROPORCIONES ARITMÉTICAS
Una proporción aritmética es la igualdad de dos razones aritméticas o de dos diferencias. Las proporciones aritméticas se pueden representar de dos maneras:a – b = c - da . b :: c . d
Ejemplo:Representar 20 es a 5 , como 21 es a 16.
Se puede representar así: 20 - 5 = 21 - 16 o bien así: 20 . 5 :: 21 . 16
Los términos primero y cuarto de una proporción aritmética reciben el nombre de Extremos, mientras que los términos segundo y tercero se denominan Medios.En el ejemplo anterior, 20 y 6 son los extremos mientras que 5 y 21 son los medios.
Los términos primero y tercero de una proporción aritmética reciben el nombre de antecedentes, mientras que los términos segundo y cuarto se denominan consecuentes.En el ejemplo anterior entonces 20 y 21 son los antecedentes, mientras que 5 y 16 son los consecuentes.
PROPORCIONES GEOMÉTRICAS
anterior, 8 y 3 son los extremos mientras que 4 y 6 son los medios.Una proporción geométrica es la igualdad de dos razones geométricas.Las proporciones geométricas se pueden representar de dos maneras:a / b = c / d.a : b :: c : d.Ejemplo:Representar 8 es a 4 , como 6 es a 3.
Se puede representar así: 8 / 4 = 6 / 3 o bien así: 8 : 4 :: 6 : 3
Los términos primero y cuarto de una proporción geométrica reciben el nombre de Extremos, mientras que los términos segundo y tercero se denominan Medios.En el ejemplo
Los términos primero y tercero de una proporción geométrica reciben el nombre de antecedentes, mientras que los términos segundo y cuarto se denominan consecuentes.En el ejemplo anterior entonces 8 y 6 son los antecedentes, mientras que 4 y 3 son los consecuentes.
EJERCICIOS RESUELTOS
HALLAR EL TÉRMINO DESCONOCIDO EN LAS SIGUIENTES PROPORCIONES ARITMÉTICAS:
EJERCICIO 160 - 15 = X - 14
SOLUCIÓN60 - 15 = X - 14Transponemos términos de la siguiente manera:60 - 15 + 14 = XEfectuamos las sumas y restas del primer término:60 - 15 = 45 + 14 = 59Entonces:59 = X o bien:X = 59.

EJERCICIO 216.5 - 7 = 7.9 - X
SOLUCIÓNTransponemos términos de la siguiente manera:16.5 - 7 - 7.9 = - XEfectuamos las sumas y restas del primer término:16.5 - 7 = 9.5 - 7.9 = 1.6Entonces:1.6 = - X o bien:X = - 1.6.
EJERCICIO 31/4 - 1/7 = 1/2 - X
SOLUCIÓN debe hallar el mínimo común múltiplo que permita eliminar los Tratandose de quebrados con diferente denominador sedenominadores en ambos términos: En este caso el M.C.M. será: 28 que contiene a todos los miembros.Entonces aplicamos el M.C.M. de la siguiente forma:28 * (1/4) - 28 * (1/7) = 28 * (1/2) - XEfectuando las operaciones obtenemos:7 - 4 = 14 - 28XTransponemos términos de la siguiente manera:7 - 4 - 14 = - 28XEfectuamos las sumas y restas del primer término:7 - 4 = 3 - 14 = - 11Entonces:- 11 = - 28X, es decir - 11 / - 28 = X, o bien:X = 11 / 28.
EJERCICIO 40.04 - 0.01 = 15 1/4 - X
SOLUCIÓNCuando se tiene un quebrado mixto, se busca convertirlo en decimal, para ello el quebrado se divide y dicho cociente se suma a la parte entera del quebrado:Entonces dividimos: 1 / 4 = 0.25, este valor se lo agregamos al entero y obtenemos:15 + 0.25 = 15.25Reemplazando en la expresión tenemos:0.04 - 0.01 = 15.25 - XTransponiendo términos tenemos:0.04 - 0.01 - 15.25 = - XEfectuamos las sumas y restas del primer término:0.04 - 0.01 = 0.03 - 15.25 = - 15.22Entonces:- 15.22 = - X o bien X = 15.22.
HALLAR EL TÉRMINO DESCONOCIDO EN LAS SIGUIENTES PROPORCIONES GEOMÉTRICAS:
EJERCICIO 18 : X :: 24 : 3
SOLUCIÓNLa proporción se interpreta de la siguiente manera:8 / X = 24 / 3Ahora se efectúa en forma cruzada así:8 * 3 = 24 * XEntonces:24 = 24X, de donde X= 1.
EJERCICIO 2X : 15 = 3 : 9
SOLUCIÓNLa proporción se interpreta de la siguiente manera:X / 15 = 3 / 9Ahora se efectúa en forma cruzada:9 * X = 15 * 3Entonces:9X = 45, de donde: X = 45 / 9 Entonces: X = 5.

PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1 La relación de clientes hombres a clientes mujeres que visitan un restaurante criollo del Perú diariamente es de 4 a 5. Si en este momento hay 20 clientes mujeres. ¿Cuántos clientes varones hay en el restaurante?.
SOLUCIÓN
Sean los clientes varones = XSean las clientes mujeres = Y
Entonces podemos establecer la siguiente relación: X / Y = 4 / 5 , es decir, X es a Y como 4 es a 5.
Si en este momento hay 20 clientes mujeres, entonces la relación se establece así:
X / 20 = 4 / 5
De donde despejando X y tenemos que: X = ( 20 * 4 ) / 5
Efectuando obtenemos X = 16, es decir hay 16 clientes varones.
PROBLEMA 2La edad de dos clientes habituales de un restaurante de pescados y mariscos del Callao, están en la relación de 9 a 5. Si la edad del cliente mayor es 63 años. ¿Cuál es la edad del otro cliente?.
SOLUCIÓN
Sea el cliente mayor = XSea el cliente menor = Y
Entonces podemos establecer la siguiente relación: X / Y = 9 / 5 , es decir, X es a Y como 9 es a 5.
Si el cliente mayor tiene 63 años, entonces la relación se establece así:
63 / Y = 9 / 5
De donde despejando Y, tenemos que: Y = ( 63 * 5 ) / 9
Efectuando obtenemos Y = 35, es decir el cliente menor tiene 35 años.
PROBLEMA 3
En un campeonato deportivo realizado en el Perú, la razón de partidos ganados a partidos perdidos del equipo favorito es 6:4. Si en total se jugaron 20 partidos. ¿Cuántos partido ganó?. ¿Cuántos perdió?.
SOLUCIÓN
Sean los partidos ganados = XSean los partidos perdidos = Y
Entonces podemos establecer la siguiente relación: X / Y = 6/ 4 , es decir, X es a Y como 6 es a 4.
Si se jugaron un total de 20 partidos, entonces la relación se establece así:
X / 20 - X = 6 / 4
De donde despejando tenemos que: 4X = 6(20 - X)
Efectuando obtenemos: 4X = 120 - 6X
Transponiendo términos obtenemos: 4X + 6X = 120
Efectuando obtenemos: 10X = 120, de donde X = 120 / 10, es decir X = 12.
Entonces el equipo favorito ganó 12 partidos y perdió 8.
PROBLEMA 4
En un restaurante de Arequipa la tarifa diaria de los mozos Alberto y Felipe es 5/6. Si la tarifa de Alberto es S/. 20.00 soles. ¿Cuál es la tarifa de Felipe?. Si ambos trabajaron durante 5 días, ¿Cuánto recibirá cada uno por los días trabajados?.
SOLUCIÓN
Sea el mozo Alberto = XSea el mozo Felipe = Y
Entonces podemos establecer la siguiente relación: X / Y = 5 / 6 , es decir, X es a Y como 5 es a 6.
Si la tarifa de Alberto es S/. 20.00 soles, entonces la relación se establece así:
20 / Y = 5 / 6
De donde despejando Y, tenemos que: Y = ( 20 * 6 ) / 5
Efectuando obtenemos Y = 24, es decir la tarifa de Felipe es S/. 24.00 soles.
Si ambos trabajaron durante cinco días, entonces:
Alberto recibirá: S/. 20.00 * 5 días = S/. 100.00 soles.
Felipe recibirá: S/. 24.00 * 5 días = S/. 120.00 soles.
PROBLEMA 5
Las ventas de papa a la huancaína y de ocopa arequipeña, dos platos típicos del Perú, están en una relación de 2 a 3. Si las ventas de papa a la huancaína fueron de S/. 1,520.00 soles. ¿Cuál fue la venta de la ocopa arequipeña?.
SOLUCIÓN
Sean las ventas de papa a la huancaína = XSean las ventas de ocopa arequipeña = Y
Entonces podemos establecer la siguiente relación: X / Y = 2 / 3 , es decir, X es a Y como 2 es a 3.
Si las ventas de papa a la huancaína fueron S/. 1,520.00 soles, entonces la relación se establece así:
1520 / Y = 2 / 3
De donde despejando Y, tenemos que: Y = ( 1520 * 3 ) / 2
Efectuando obtenemos Y = 2,280, es decir las ventas de ocopa arequipeña fueron S/. 2,280.00 soles.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA1 En un restaurante limeño la tarifa diaria de los mozos Alberto y Felipe están en una relación de 5/6. Si la tarifa de Alberto es S/. 20.00. ¿Cuál es la tarifa de Felipe?. Si ambos trabajaron durante 5 días, ¿Cuánto sería el total que cada uno recibiría?.
Rpta.La tarifa de Felipe es: S/. 24.00Alberto recibía en total: S/. 100.00 y Felipe recibiría en total: S/. 120.00
PROBLEMA2 La tarifa diaria de dos anfitrionas:Mercedes y Luisa son entre sí como 2 es a 17. Si la tarifa de Mercedes es S/. 14.00. ¿Cuál será la tarifa de Luisa?.
Rpta.La tarifa de Luisa es: S/. 199.00
PROBLEMA3 La razón de mujeres a hombres que están en este momento en un bar de Lima es de: 3:4. Si ya hay 36 mujeres, ¿Cuántos hombres hay en el bar?.
Rpta.Hay 48 hombres.
PROBLEMA 4 En un restaurante del distrito de Miraflores la razón de clientes que toman una copa de vino respecto a los que toman una copa de agua es 1:5. Si hay 48 clientes en total, ¿Cuántos clientes toman una copa de vino?.
Rpta.Los clientes que toman una copa de vino son: 12.
PROBLEMA 5 El mayor de dos mozos de un restaurante limeño tiene 42 años y la relación entre sus edades es de 5 a 7. Hallar la edad del otro mozo.
Rpta.El otro mozo tiene: 30 años.
PROBLEMA6 La razón entre el largo y el ancho del área de una cocina es 3:2. Si el largo es de 15 mts. ¿Cuál es el ancho?.
Rpta.El ancho es: 10 mts.
PROBLEMA7 En un bar la razón de mujeres que toman un pisco sour o una algarrobina es de 3:4. Si en el bar hay 35 clientes mujeres, ¿Cuántas de ellas toman un pisco sour?. Si cada pisco sour cuesta S/. 12.00, ¿Cuánto fueron los ingresos del día por la venta de pisco sour a las clientes mujeres?.
Rpta.15 clientes mujeres toman un pisco sour. Las ventas del día fueron de: S/. 180.00

Razones y Proporciones
¿Qué es una Razón entre dos cantidades?
Si en un curso existe un total de 42 alumnos, de los cuales 10 son mujeres y 32 hombres, podemos comparar estas cantidades de personas de diversas formas:
De un total de 42 alumnos, 10 son mujeres
De un total de 42 alumnos, 32 son hombres
Existe una diferencia de 22 personas entre las cantidades de hombres y mujeres, a favor de los hombres
Por cada 5 mujeres hay 16 hombres en el curso
El cuociente entre la cantidad de mujeres y la de hombres es 0,3125
Por cada hombre hay 0,3125 mujeres (¿qué sentido tiene esto?, ¿cómo se interpreta?)Ahora ustedes. Completen :
El cuociente entre la cantidad de hombres y mujeres es ____Por cada 16 hombres hay ___ mujeres en el cursoEl cuociente entre la cantidad hombres y la de mujeres es ____Por cada mujer hay ____ hombres (¿qué sentido tiene esto?, ¿cómo se interpreta?)
Definición:
Una RAZÓN es una compración entre dos cantidades por medio del cuociente entre ellas. Si las cantidades son a y b, se puede escribir la razón entre a y b (en ese orden) como a:b ó a/b
Que se lee " a es a b"
¿Qué es una Proporción?
Atención a los siguientes ejemplos:
1:2 y 2:4 forman una proporción, pero 1:3 y 2:4 No
3:4 y 6:8 forman una proporción, pero 3:4 y 5:8 No
Tenemos una proporción cuando tenemos una igualdad de dos razones.
(Pregunta: ¿Cuándo dos razones son iguales?)
Definición:
Una PROPORCIÓN es una igualdad entre dos razones. Si las las razones son a:b y c:d que forman una proporcion, entonces se escribe esta proporción como
a:b = c:d
Que se lee " a es a b como c es a d"
A los números a y d se les llama extremos y a los números b y c se les llama medios
Propiedad fundamental de las Proporciones:
En una proporción se cumple SIEMPRE que el producto de los extremos es igual al de los medios.
En las proporciónes siguientes identifica el valor que debe tener x e identifica extremos y medios de la proporción:
x/3 = 4/6
1/3=x/27
2:3=3:x

Razones y Proporciones

Razones y Proporciones
ARITMÉTICA
RAZÓN:
Es el resultado de comparar 2 o más cantidades. Mira este ejemplo:
"Yo tengo 20 años y mi enamorada tiene 60 años".
Fácilmente podrás concluir que:
1.- Mi enamorada es tres veces mayor que yo. 2.- Yo soy 40 años menor que ella.
En cualquiera de los casos estas comparando nuestras edades. Las comparaciones se hacen mediante una diferencia o un cociente entre las cantidades dadas.
* Si la comparación la hago mediante una diferencia:
60 - 20 = 40
Donde 40 será el valor de la razón (razón aritmética)
* Si la comparación la hago mediante un cociente:
60 / 20 = 3
Donde 3 será el valor de la razón (razón geométrica)

¡¡BIENVENIDO!!Bienvenido, este blog te ayudará a comprender mejor aquellos contenidos de la unidad de Razones y Proporciones que se te hagan más difíciles, y a repasar y ampliar aquellos que ya entiendas.También aquí puedes dar tu opinión sobre las clases y la materia que vemos en ellas, así como cualquier comentario que tengas sobre los contenidos.

UTILIZA ESTE BLOG PARA ACLARAR TUS DUDAS Recuerda que hasta ahora hemos visto en clases las definiciones de razón, de proporción, sus términos y propiedades. Te invito antes de continuar con los contenidos de esta unidad a preguntar tus dudas sobre lo que hemos aprendido en clases. ¡¡¡PARTICIPA AQUÍ!!!

EJERCITEMOS LO APRENDIDO Recuerda que en clases aprendimos sobre razones, su definición, sus términos, su valor y su inversa, ahora puedes utilizar la siguiente guía para ejercitar lo aprendido en clases ¡SUERTE!http://localhostr.com/files/e2fb6f89741044ec9490.doc

HAGAMOS UN BREVE RECUERDO Recuerda que según lo visto en clases, una Proporción es una igualdad entre dos razones. Hasta ahora hemos aprendido sobre razones y proporciones. Si faltaste a clases, o aún no entiendes bien estos contenidos, puedes entrar a las páginas siguientes, en las que encontrarás un breve resumen y ejemplos de razones y proporciones.http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/razopro.htmhttp://sultan.hostos.cuny.edu/InstructionalTech/MAT1604SPA/ratios.htm

REPASANDO...A continuación, puedes repasar todo lo que hemos aprendido, Completando la siguiente guía podrás distinguir las diferencias entre razones y proporciones, además de repasar los conceptos que ellas .://locahttpinvolucranlhostr.com/files/3a5921137edbcd7d2a52.docTambién puedes ejercitar estos contenidos con la siguiente guía:http://.localhostrcom/files/b88277871094008cd99c.doc

LO QUE SE VIENE...Próximamente, veremos en clases Proporcionalidad Directa e Inversa, tema muy relacionado con lo que has aprendido hasta ahora, por esto te sugiero que repases la materia vista, y cualquier duda que tengas la publiques aquí, para que la conversemos y aclaremos en conjunto.

PARTICIPA, TU OPINIÓN ES IMPORTANTEComo ya conoces las razones y proporciones, te invito a dar tu opinión sobre esta materia respondiendo:
¿Que propones para mejorar la comprensión de esta materia?
¿Qué aplicaciones a la vida diaria crees que puede tener?Puedes opinar y dar sugerencias sobre esto, ya que de esta forma pueden surgir buenas ideas que te ayuden a hacer más fácil la comprensión de estos contenidos.